Meneer Van Dalen…

6 : 3 x 2 = 1

Beste lezer, het zal je misschien ontgaan zijn, maar ergens in het voorbij gaan van de jaren, hebben wij een alom geliefde, zeer behulpzame, vriend verloren. Één die ons door vele moeilijke tijden heeft geholpen, die ons een uitweg bood als we die zelf niet meer zagen. Één die ons aan de hand nam, en ons keer op keer de oplossing voor een probleem liet zien.

Het doet me dan ook zeer om je te moeten vertellen dat Meneer Van Dalen niet meer op antwoord wacht; hij heeft zijn antwoord gekregen, en is verder gegaan met een ongetwijfeld hoger niveau van bestaan. In andere woorden: de rekenregel ‘Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord’ werkt niet meer!

Even opfrissen; het betreffende zinnetje was een ezelsbrug die ons vertelde in welke volgorde rekenkundige bewerkingen moesten plaatsvinden in een som waar meerdere bewerkingen achter elkaar stonden. ‘M’ staat voor Machtsverheffen, ‘V’ voor Vermenigvuldigen, ‘D’ voor Delen, ‘W’ voor worteltrekken, ‘O’ voor Optellen en ‘A’ voor Aftrekken. Dat toegepast op de som bovenaan deze tekst betekent dat we eerst het stuk 3 x 2 moeten doen (vermenigvuldigen komt, volgens Meneer van Dalen immers vóór delen). De som wordt dan vervolgens 6 : 6 , en ik denk dat we het allemaal eens zijn dat het antwoord daarop 1 is.

Helaas, de som 6 : 3 x 2 heeft vandaag de dag een andere uitkomst. Laat mij je dat uitleggen.

Ergens rond de millenniumwissel heeft men de oude rekenregel losgelaten, en een nieuwe aangenomen. Mijn Google-Fu is niet krachtig genoeg om precies te kunnen achterhalen wanneer dit was, maar de reden, zo heb ik mij laten vertellen, is dat bleek dat wij met onze regel afweken van wat men op de rest van de planeet deed. De conclusie dat dat niet zo verstandig is is uiteraard snel gemaakt. Dus aanpassen aan de rest, zodat het antwoord op elke som gelijk is, waar ter wereld je je ook bevindt. Logisch, toch?

Dan nu de ‘nieuwe’ regel. De nadruk ligt (nog steeds; dat gold bij Meneer Van Dalen ook, alleen leken we dat toentertijd gewoon voor lief te nemen) op dat alles wat tussen haakjes staat, eerst uitgerekend moet worden. Dat noemen we bij dezen dus regel 1.

1 . Haakjes eerst

Vervolgens komen de bewerkingen machtsverheffingen en worteltrekken. De volgorde van beiden maakt niet uit, omdat het elkaars tegengestelde berekeningen zijn, en dus wordt besloten, omdat we leren van links naar rechts te lezen, om de bewerkingen ook op volgorde van links naar rechts te doen. Puntje bij paaltje;  regel 2 luidt:

2. Machtsverheffingen & Worteltrekken

Nu komen vermenigvuldigen en delen aan de beurt. Ook voor deze bewerkingen geldt dat ze elkaars tegengestelde zijn, en dus ook hiervoor geldt nu dat de we bewerkingen van links naar rechts afhandelen. Door deze regel klopt het antwoord op de som bovenaan deze tekst ook niet meer, maar daarover zo meteen meer. Regel 3 ziet er dan als volgt uit:

3. Vermenigvuldigen & Delen

Tenslotte hebben we nog optellen en aftrekken (waarbij ik graag een keer noem dat hier in de klassen, de laatste term toch iedere keer weer een voorspelbare reactie uit mijn diverse klassen komt – pubers!), die ook bij Meneer Van Dalen een beetje het ondergeschoven kindje waren. Andermaal geldt dat ook deze twee bewerkingen elkaars tegengestelde zijn, en dus van links naar rechts door de som afgehandeld moeten worden. En voilà, daar is regel 4:

4. Optellen & Aftrekken

Speciaal voor de mensen die moeite hebben met het loslaten van een ezelsbruggetje, zij die de houvast van een slim bedacht, eenvoudig te onthouden zinnetje, heb ik een aardigheidje. We zetten de vier regels even onder elkaar:

1. Haakjes
2. Machten & Wortels
3. Delen & Vermenigvuldigen
4. Optellen & Aftrekken

Ik heb de eerste letter van alle woorden vet gemaakt. Ik kies er voor om ze in deze volgorde te zetten, omdat anders mijn slimmigheidje niet werkt, maar ik daag je graag uit om zelf ook een ezelsbruggetje te verzinnen (en onthoud daarbij dat je, per regel, de volgorde van beide bewerkingen mag wisselen). Met de letters in de hierboven gekozen volgorde krijg je dus:

Haakjes – Machten – Wortels – Delen – Vermenigvuldigen – Optellen – Aftrekken

En daarmee kun je het volgende zinnetje maken:

Hoe Makkelijk Was De Volgorde Ook Alweer.

Alsjeblieft, je nieuwe ezelsbruggetje is daar. Simpel, nietwaar? Tenslotte nog even terug naar de som bovenaan de tekst.

Meneer Van Dalen ‘dwong’ ons nog eerst te vermenigvuldigen en daarna pas te delen. De nieuwe regel maakt beide bewerkingen gelijkwaardig, en dus van links naar rechts af te handelen. Het nieuwe antwoord komt dus tot stand door eerst 6 : 3 = 2 te doen, en daarna het overgebleven getal te vermenigvuldigen met 2.

6 : 3 x 2 = 4

6 gedachten over “Meneer Van Dalen…”

  1. Het ezelsbruggetje van meneer van Dalen dateert ergens uit het midden van de 19e eeuw en is altijd omstreden geweest. Er werden namelijk ook varianten gebruikt waarbij wortel trekken een lagere plek in de rangorde had en er waren ook instellingen die de huidige regels gebruikten. Je had destijds de vervelende situatie dat er dus soms wel drie uitkomsten voor één en dezelfde opgave waren. En dat is niet zo handig.

    Toen er, mede door de opmars van computers en daarbij dus programmeertaal, de behoefte bestond om internationale afspraken te maken over de volgorde van bewerkingen (dit zal dus zo ergens tussen 1960-1970) zijn geweest is meneer van Dalen losgelaten. De reden dat meneer van Dalen het moest afleggen tegen “Hoe Makkelijk Was De Volgorde Ook Alweer” is dan ook omdat de huidige regels in een binair stelsel vele malen handiger zijn.

    Dat het vervolgens nog bijna 30 jaar duurde voordat hij echt uit ons onderwijs verdwenen was is uiteraard opmerkelijk.

    1. ‘Your Google-Fu’ is strong, young grasshopper. Dank je, Izaak, voor de opheldering. Dat het al zo lang geleden was wist ik echt niet.

      Ik voelde de noodzaak tot het plaatsen van dit bericht, toen ik onlangs een collega ‘betrapte’ op het foutief uitleggen van de bewerkingsregels (Meneer Van Dalen was uit de dood herrezen, en prijkte op het bord…).

      Doet je inderdaad afvragen waarom ik me dan levendig kan herinneren dat ik met die regel door mijn basis- en middelbare school ben gekomen…

      1. Tot mijn afschuw ontdekte ik pas vandaag dat de rekenvolgorde die mij is aangeleerd niet correct is. Ik houd me in het dagelijks leven dan ook voornamelijk bezig met taal en niet met rekenen, maar dan nog. Hoe kan ik dit hebben gemist? Ik heb pas eind jaren ’90 mijn VWO afgerond, dus waarom kan ik me die ‘nieuwe’ volgorde niet herinneren? Het klinkt overigens heel logisch; als je 30 : 2 x 3 uitrekent, moet de uitkomst hetzelfde zijn als wanneer je 30 x 0,5 x 3 uitrekent, namelijk 45. Bij een computer is dat zo. De uitkomst van meneer van Dale was echter in het eerste geval 5 en in het tweede 45. Na mijn eerste verbijstering, besef ik wel dat het in de praktijk waarschijnlijk weinig uitmaakte. Haakjes wezen de weg en de notatievolgorde zal her en der gewijzigd zijn afhankelijk van de gewenste uitkomst (bijvoorbeeld 3 x 30 : 2 ipv 30 : 2 x 3). Ook moest je voor het maken van wiskunde-opgaven allereerst begrijpend kunnen lezen, zodat je uit de tekst de meest logische rekenvolgorde kon halen. En toch zit het me niet lekker. Al voelde ik me na het lezen van de eerste zin van je blog iets beter. Het mag dan een jaar later zijn, waarschijnlijk ben ik niet alleen. Dankjewel.

  2. In de wereld van wiskundige berekeningen worden haakjes op diverse manieren gebruikt, waaronder de algebraïsche methode.
    Bij voorbeeld in de algebra 2x betekend 2*x en x kan een enkel getal zijn maar ook x=2+3 of x=2*3 dan wel x=3/2 =1,5.

    Daarnaast is er een belangrijke regel dat haakjes een prioriteit aangeven. Dit gecombineerd met de algebra resulteert in het volgende:

    1/2y betekend 1/(2y) en indien y= 2x is dat niet identiek aan x2. . . .Dus de rekenkundige regel voor getallen dat a*b = b*a geld niet voor algebraïsche vergelijkingen omdat voor 2x de “2” is een Coëfficiënt voor de waarde van de onbekende waarde x. Voor ab de “a” is niet een Coëfficiënt maar een onderdeel van een vermenigvuldiging waarvoor ab gelijk is aan ba

    Neem nu deze expressie: y =1/ f(x) = 1/2x met f(x) = 2x

    Voor x=3 dan krijgen we deze oplossing:
    f(x) =2*3 = 6
    y= 1/f(x) = 1/2*3 = 1/6

    Dit creëert een conflict met de algemene rekenkunde orde van de bewerkingen indien geen haakjes worden gebruikt. Dan geldt in principe 1/ab = 1/ ba . . . en hieruit volgt met met a=2 en b=3 komt het neer op 1/2*3 = 1/3*2. . . maar dit is in tegenstrijd met de rekenkunde orde van bewerkingen die stelt dat INDIEN er geen haakjes zijn dat “delen” en vermenigvuldigen” gelijke prioriteit hebben en dan de links-naar-rechts geldt om misverstanden te vermijden. Dit houdt in dat

    1/2*3 = (1/2)*3 =1,5 . . .en 1/3*2 = (1/3)*2 = 0,666. . .

    Als een algebraïsche functie y= 1/f(x) = 1/2x met x=3 de oplossing is

    y= 1/2(3) = 1/6 = 0,1666. . .

    of

    y= 1/f(x) met f(x) = 3x met x= 2
    y= 1/3(2) = 1/6 = 0,1666. . .

    Zo de algebraïsche methode 1/2(3) = 1/3(2)

    Dus het in oplossen van algebraïsche expressies 1/2(3) heeft een andere betekenis dan simpelweg de rekenkundige betekenis 1/2*3 =(1/2)*3 waarin de volgorde links-naar-rechts word gehanteerd.

    Andersom werk niet! Dus de expressie 1/(2)3 kan niet berekend worden met de algebraïsche methode omdat in f(x)3 de 3 niet als een coëfficiënt van F(x) gezien wordt.

    De Casio x-82 MS Rekenmachine werkt als volgt:
    1/2(3) =1/(2*3) =1/6
    1/3(2) = 1/(3*2) = 1/6
    1/(2)3= Syntax Error
    1/(3)2= Syntax Error
    1/(2)*3= 1/2*3 = 3/2=1,5
    1/(3)*2= 1/3*2 = 2/3= 0,666. . .
    Ik heb veel met algebraïsche formules gewerkt in Engineering en daarin is deze methode voor berekeningen normaal en is volledig consequent met de interpretatie dat het gebruik van haakjes en een coëfficiënt “2” in 2(3) = 2*3 =6 maar dat (2)3 is NIET gelijk 2*3 maar is een Syntax Error.

    Veel websites die de volgorde van rekenkundige bewerkingen beschrijven hebben kennelijk geen weet van de methode dat het gebruik van haakjes zoals 2 (….) een valide methode is om aan te geven dat dit 2*( getal) als een “voorrang vermenigvuldiging” is en dat (….)2 geen valide expressie is in de de Algebra.

  3. De Casio rekenmachine gaat de mist in, omdat de berekening 1/3(2) door het apparaat anders wordt interpreteerd. De mens heeft de som verkeerd ingevoerd. Men noemt dit een bedieningsfout.

    De mens leest de som als 1/3 x (2). Voer de som zo in op de rekenmachine en je krijgt het correcte antwoord (2/3) = 0.66666… .

    Eigenlijk is 1/3 een breuk en dat is een getal. De Casio calculator heeft een knop [ab/c] voor het invoeren van breuken. Voor de som in als een breuk: 1 [ab/c]3 x 2. De calculator geeft het resultaat 2/3, Toets [ab/c] en je krijgt het antwoord 0.66666…

    Meneer van Dale Wacht Op Antwoord is correct. Als dat niet zo was en sommen opeens een ander antwoord geven dan moeten we alle berekening voor bruggen, waterwerken, gebouwen enzovoorts herzien. Laat ik dat illustreren met een paar voorbeelden voordat u besluit om mij met pek en veren de stad uit te jagen.

    Het probleem is dat men is vergeten om sommen goed te lezen.
    Bekijk de volgende som: 6 : 3 x 2 = 4

    6:3 is een breuk en 2 kan je ook als een breuk schrijven (2/1) en dan vermenigvuldig je de breuken 6/3 x 2/1. Meneer van Dale in de praktijk geeft als resultaat 4. Breuken (fracties) zijn getallen en kennelijk is men dat vergeten. Type in op de rekenmachine 6 [ab/c]3 x 2[ab/c]1 en het antwoord is 4.

    Breuken behoren tot het domein van de rationele getallen Q. De fracties die men schrijft in de sommen die men als voorbeeld heeft aangehaald zijn getallen die onderdeel zijn van de berekening en dat is onjuist!
    Als men de berekeningen correct uitvoert dan zal het resultaat gelijk zijn aan het antwoord dat bijvoorbeeld een veertig jaar geleden werd opgeschreven.

    Nog een voorbeeld: 30 : 2 x 3. We weten nu dat 30:2 een breuk is. Dus 30/2 x 3/1 is equivalent aan 30 x 3 / 2 x 1 is equivalent aan 30 x 3 / 2 = 45.
    Ga van links naar rechts. Het ezelsbruggetje Meneer van Dale… is bedoelt om de prioriteit van de operatoren in een berekening te kunnen bepalen. Er niets mis met het regeltje.

    Overigens werd vroeger ook geleerd dat x en : gelijkwaardig zijn en dat geldt ook voor + en min. Een voorbeeld om dat te illustreren: 5 – 4 + 3 = 4. Als men beweerd dat optellen voorrang heeft (en dat is niet juist!) dan krijgt men nog steeds het correcte antwoord. Dus als we eerst optellen doen we -4 + 3 = -1. Daarna doen we 5 – 1 en het antwoord is 4. Men moet het teken meenemen, omdat er eigenlijk staat 5 + -4 + 3. Het getal -4 komt uit het domein van de natuurlijke getallen Z.

    Om te demonstreren dat een berekening vroeger nooit een ander resultaat heeft geven heb ik een sommetje uit het leerboek ‘De Cijfferinghe’ van de illustre Bartjens uit 1633 gevist. Het sommetje is: 4:2/3

    Ik citeer zijn aanwijzingen om de berekening te doen:
    Multipliceert 4 met den noemer 3 ende type (?) en divideert door den teller 2. Het resultaat is 6
    Einde citaat.

    Bartjens leest 2/3 als een breuk en delen is vermenigvuldigen met het omgekeerde. Anno 2016 berekenen we het als volgt:
    4/1 : 2/3 = 4/1 x 3/2 = 4 x 3 / 1 x 2 = 12 / 2 = 6

    Wie meneer van Dale heeft gebruikt om de berekening te doen zal tot hetzelfde resultaat komen. Het antwoord is gelijk aan de berekening die door meneer Bartjens 383 jaar geleden werd gedaan.

    Conclusie: Het is niet Meneer van Dale die de Zwarte Piet hoort te krijgen, maar de mens die is vergeten hoe men de sommetjes moet lezen.

    O, ja… men doet er verstandig aan om de rekenmachine juist te bedienen 😉

    1. Dankjewel voor je duidelijke uitleg dat men 30:2 als een breuk moet lezen. Ik dacht al..hoe kan mn al heel die geschiedenis lang in al hun berekeningen dan fout zijn geweest??.. in mijn ogen was wiskunde altijd iets logisch en nu leken er meerdere antwoorden mogelijk te zijn.

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *